Question

已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，则（10-x）∈S”；
（1）分别写出只有二个元素的集合S和只有三个元素的集合S；
（2）集合S共有多少个？

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的条件，只有二个元素的集合中两个元素的和必定为10，只有三个元素的集合中必有一个元素是5，另外两个元素之和为10，从而写出满足要求的集合即可；
（2）从集合中元素的个数进行分类：如只有一个元素的是{5}；只有二个元素的集合；只有三个元素的集合；只有四个元素的集合；…由于集合中元素可以无穷多个，从而得出符合要求的集合可以有无穷多个．

解答：解：（1）只有二个元素的集合中两个元素的和必定为10，
可以是：S={1，9}等；
只有三个元素的集合中必有一个元素是5，另外两个元素之和为10，
故可以是：S={5，1，9}等；
（2）集合S共有无穷多个．
如只有一个元素的是{5}共一个；
只有二个元素的集合可以是：S={1，9}或{2，8}或{3，7}或{4，6}共四个；
只有三个元素的集合可以是：S={5，1，9}或{5，2，8}或{5，3，7}或{5，4，6}共四个；
只有四个元素的集合可以是：S={2，8，1，9}或{3，7，2，8}或{4，6，3，7}或{1，9，4，6}等共六个；
只有五个元素的列举出来共六个
只有六个元素的有四个
只有七个元素的有四个
有八个元素的有一个，
有九个元素的有一个
综上知，共有1+4+4+6+6+4+4+1+1=31个

点评：本小题主要考查进行简单的合情推理、集合的表示法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．