Question

已知向量

a

=(2

3

sinx，cos2x)，

b

=(cosx，2)，函数f(x)=

a

•

b

（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数f（x）向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数倍角公式、两角和的正弦公式及其单调性、向量的数量积即可得出；
（2）利用三角函数的平移、伸缩变换先求出其解析式，再利用其单调性即可求出值域．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴函数f（x）减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）∵将函数f（x）向左平移

π

12

得到y=2sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]+1=2sin(2x+

π

3

)+1，
再将其横坐标缩短为原来的

1

2

，得到g（x）=2sin(4x+

π

3

)+1，
∵0≤x≤

π

4

，∴

π

3

≤4x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(4x+

π

3

)≤1．
即-

3

+1≤g（x）≤3．
∴g（x）在[0，

π

4

]上的值域为[-

3

+1，3]．

点评：熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的图象的平移、伸缩变换及其单调性是解题的关键．