Question

已知函数g(x)＝ax³＋bx²＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.设x₁、x₂为方程f(x)＝0的两根．

(1)求的取值范围；

(2)若当|x₁－x₂|最小时，g(x)的极大值比极小值大，求g(x)的解析式．

Answer 1

解析　(1)∵g(x)＝ax³＋bx²＋cx，∴g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.

又f(x)＝g′(x)＝3ax²＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，即(b－a)(3b＋2a)≤0.

∵a≠0，∴(－1)(3·＋2)≤0，解得－≤≤1.

又∵方程f(x)＝3ax²＋2bx＋c＝0(a≠0)有两根，∴Δ≥0.

而Δ＝(2b)²－4×3a×c＝4b²－12a(b－a)＝4(b－a)²＋3a²>0恒成立，

于是，的取值范围是[－，1]．

(2)∵x₁、x₂是方程f(x)＝0的两根，即3ax²＋2bx＋c＝0的两根为x₁、x₂，

∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝＝＝－.

∴|x₁－x₂|²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝

∵－≤≤1，∴当且仅当＝1，即a＝b时，|x₁－x₂|²取最小值，即|x₁－x₂|取最小值．

此时，g(x)＝ax³＋ax²，f(x)＝3ax²＋2ax＝ax(3x＋2)．

令f(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝0.

若a>0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，0)	0	(0，＋∞)
f(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)		极大值		极小值	

由上表可知，g(x)的极大值为g(－)＝a，极小值为g(0)＝0.

由题设，知a－0＝，解得a＝9，此时g(x)＝9x³＋9x²；

若a<0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，0)	0	(0，＋∞)
f(x)	－	0	＋	0	－
g(x)		极小值		极大值	

由上表可知，g(x)的极大值为g(0)＝0，极小值为g(－)＝a.

由题设知0－a＝，解得a＝－9，此时g(x)＝－9x³－9x².