Question

如图所示,已知在△ABC边上做匀速运动的点D、E、F,在时刻t=0时,分别从A、B、C出发,各以一定速度向B、C、A前进,当时刻t=1时到达B、C、A.

(1)问:在运动过程中,△DEF的重心发生怎样的变化?

(2)若△ABC的面积是S,则△DEF的面积有最小值吗?若有,则何时取到最小值?若无,请说明理由.

Answer 1

思路分析:(1)注意在同一时刻D、E、F分、、所成的比相同,故可利用定比分点坐标公式分别求出D、E、F三点的坐标,再利用重心坐标公式求出重心坐标.

(2)将S_△DEF表示为t的二次函数求最小值,注意t的范围.

解:(1)设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C).

由题意,在同一时刻t,D、E、F分、、所成的比相同,设为λ,则λ====.

由定比分点坐标公式可求得

D(tx_B+(1-t)x_A,ty_B+(1-t)y_A),

E(tx_C+(1-t)x_B,ty_C+(1-t)y_B),

F(tx_A+(1-t)x_C,ty_A+(1-t)y_C).

由三角形重心坐标公式求得

△DEF的重心坐标为

(,),与t无关,

即在运动过程中,△DEF的重心不变.

(2)∵=t,=1-t,

∴△DFA与△ABC的底与高对应成比例,S_△DFA∶S_△ABC=(AD·AF)∶(AB·AC)=t(1-t),即S_△DFA=t(1-t)S.

同理,S_△DEB=S_△EFC=t(1-t)S.

∴S_△DEF=S_△ABC-(S_△DFA+S_△DEB+S_△EFC)

=(3t²-3t+1)S=［3(t-)²+］S.

∵0≤t≤1,

∴当t=时,S_△DEF的面积有最小值为S.