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    已知PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶.

    （1）求PB与平面PDC所成角的大小；

    （2）求二面角DPBC的正切值；

    （3）若AD=BC，求证:平面PAB⊥平面PB

    （1）解析：由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC.?

    又AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.?

    又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC.?

    所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角.?

    令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=.?

    由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.?

    在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°,即直线PB与平面PDC所成的角为45°.?

    （2）解析：如图，取PC中点E，连结DE，则DE⊥PC.由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC，则DE⊥平面PBC，作EF⊥PB于F，连结DF，由三垂线定理，得DF⊥PB.

    则∠DFE为二面角DPBC的平面角.?

    在Rt△PDC中，求得DE=.?

    在Rt△PFE中，求得EF=.?

    在Rt△DEF中，tan∠DFE=，?

    即二面角DPBC大小的正切值为.??

    （3）证明:如图，取PB中点G，连结AG和EG.由三角形中位线定理得GE∥BC，GE=BC.?

    由已知，AD∥BC，AD=BC，?

    ∴AD GE.?

    ?

    ∴AGED是平行四边形.∴AG∥DE.?

    由（2）已证出DE⊥平面PBC，?

    ∴AG⊥平面PBC.?

    又AG平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC.


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    +
    BP
    +
    CP
    =0，设
    |
    PA
    |
    |
    PD
    |
    =λ，则λ的值为（　　）
    A、1
    B、
    1
    2
    C、2
    D、
    1
    4

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    PA
    +
    BP
    +
    CP
    =0，设
    |
    AP|
    |
    PD|
    =λ，则λ的值为
     
    ．

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