Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点
（Ⅰ） 求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设CE中点为M，连接BM，MF，则CB=BE，BM⊥CE，由MF

∥

.

BA，知MB

∥

.

FA，由此能够证明平面BCE⊥平面CDE．
（2）过M作MP⊥EF于P，连接BP，设底面正三角形边长为2，由BM⊥平面CDE，知BM⊥EF，由MP⊥EF，知EF⊥BP，所以∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的补角，由此能求出二面角B-EF-D的余弦值．

解答：解：（1）设CE中点为M，连接BM，MF，则CB=BE，BM⊥CE，
∵MF

∥

.

BA，∴MB

∥

.

FA，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AF，∴DE⊥BM，
又∵CE∩DE=E，∴BM⊥平面CDE，
又∵BM?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（2）过M作MP⊥EF于P，连接BP，
设底面正三角形边长为2，
∵BM⊥平面CDE，∴BM⊥EF，
又∵MP⊥EF，∴EF⊥平面BMP，
∴EF⊥BP，
∴∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的补角，
∵BM=

3

，MP=

5

5

，
∴cos∠BPM=

1

4

．
∴二面角B-EF-D的余弦值为-

1

4

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．