Question

已知函数f

x

=ln|x|

x≠0

，函数g

x

=

1

f′ x

+af′

x

x≠0

（I）当x≠0时，求函数y=g

x

的表达式；
（Ⅱ）若a＞0，且函数y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中所求的a值，若函数h(x)=

1

3

x3-

b+1

2a

x2+bx，x∈R，恰有三个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用基本初等函数的导数公式求出函数f（x）的导函数，代入函数g

x

=

1

f′ x

+af′

x

x≠0

可得到第一问的解析式；
（Ⅱ）利用（1）得到当x＞0时的g（x）的解析式，然后利用基本不等式求最值，由最小值为2列式求a的值；
（Ⅲ）求出函数h（x）的导函数，得到导函数的零点，然后分b和1的关系结合导函数的符号分类讨论函数恰有三个零点时的b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f

x

=ln|x|，
∴当x＞0时，f

x

=lnx； 当x＜0时，f

x

=ln

-x

∴当x＞0时，f′

x

=

1

x

； 当x＜0时，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

．
∴当x≠0时，函数y=g

x

=x+

a

x

；
（Ⅱ）∵由（1）知当x＞0时，g

x

=x+

a

x

，
∴当a＞0，x＞0时，g

x

≥2

a

当且仅当x=

a

时取等号．
由2

a

=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当1＜x＜b，时h′（x）＜0，当x＞b时，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，则当0＜x＜b时，h′（x）＞0，当b＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0．
所以函数h（x）有三个零点的充要条件为

f(1)＞0 f(b)＜0

或

f(1)＜0 f(b)＞0

解得b＜

1

3

或b＞3．
综合：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)
另解：h(x)=

1

3

x3-

b+1

2

x2+bx=

1

6

x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有两个不等实根，且不含零根．
由

9(b+1)2-48b＞0 b≠0

，解得：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了判别式法，是有一定难度题目．