Question

（2010•唐山三模）有甲、乙两箱产品，甲箱共装8件，其中一等品5件，二等品3件；乙箱共装4件，其中一等品3件，二等品1件．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两箱中共抽取产品3件．
（Ⅰ）求抽取的3件产品全部是一等品的概率；
（Ⅱ）用ξ抽取的3件产品中为二等品的件数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题设条件，由分层抽样的意义，应该从甲箱中抽取2件产品，从乙箱中抽取1件产品，由此能求出抽取的3件产品全是一等品的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．由题设条件分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）根据题设条件，由分层抽样的意义，
应该从甲箱中抽取2件产品，
从乙箱中抽取1件产品，
则抽取的3件产品全是一等品的概率P=

C 2 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

=

15

56

．
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 2 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

=

15

56

．
P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

+

C 2 5

C 2 8

•

1

C 1 4

=

55

112

，
P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 8

•

C 1 3

C 1 4

+

C 1 3 C 1 5

C 2 8

•

1

C 1 4

=

3

14

，
P（ξ=3）=

C 2 3

C 2 8

•

1

C 1 4

=

3

112

．
∴ξ的分布列为：

ζ	0	1	2	3
P	15 56	55 112	3 14	3 112

∴Eξ=0×

15

56

+1×

55

112

+2×

3

14

+3×

3

112

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．