Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）直接利用长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线列出关于a，b，c的方程，再求出a，b，c即可求出椭圆的方程；
（II）把 直线方程与椭圆方程联立求出点A．B的坐标和点N的坐标之间的关系，再结合直线NA与NB的倾斜角互补的对应结论k_NA+k_NB=0，即可求出N点坐标．

解答：解：（Ⅰ）依题意得

a=2c a2 c =4

解之得

a=2 c=1

从而b=

3

．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                          …（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m），
联立方程得

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-m)

消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）
∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），
则x1+x2=

8mk2

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-12

3+4k2

，（*）
因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于k_NA+k_NB=0，…（8分）
所以

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，即

k(x1-m)

x1-n

+

k(x2-m)

x2-n

=0，…（9分）
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
将（*）式代入上式得

8m2k2-24

3+4k2

-

(m+n)×8mk2

3+4k2

+2mn=0，
整理得mn=4，∵m≠0，∴n=

4

m

，所以，N点存在，且坐标为(

4

m

，0)，
因此，存在点N(

4

m

，0)使得直线NA与NB的倾斜角互补．      …（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决这一类型题目的常用方法是：把直线方程与圆锥曲线方程联立，求出直线与圆锥曲线交点之间的关系；再结合其它条件来求对应结论．