Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设，求证：T_2n＜3．

Answer 1

证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，
得=，
即．
∴数列{b_n}是首项为，公比为-1的等比数列．
解：（2）由，
得，
=
S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=．
证明：（3）
=
=+
＜+
∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），
∴，
∴
=
=3（1-）＜3．
分析：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，得．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由，得，所以a_n=，由此能求出数列{a_n}的前n项的和．
（3）==+＜+，由此入手能够证明T_2n＜3．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意培养计算能力和转化能力．