Question

10．在正方体AC₁中．
（1）求AD与BB₁所成的角；
（2）求AC与BC₁所成的角；
（3）AA₁，AB，CC₁的中点分别是E，F，G，求EF与A₁G所成的角；
（4）求EF与D₁B₁所成的角．

Answer 1

分析 利用平行关系，结合异面直线所成角的定义，即可求出所求角．

解答 解：正方体AC₁中．
（1）由正方体的性质，BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AD，
∴AD与BB₁所成的角是90°；
（2）∵△A₁BC₁是等边三角形，∴AC与BC₁所成的角是60°；
（3）AA₁，AB，CC₁的中点分别是E，F，G，则EF∥A₁B，
∴∠GA₁B或其补角为EF与A₁G所成的角，
设正方体的棱长为2，则A₁B=2$\sqrt{2}$，BG=$\sqrt{5}$，GA₁=3，
∴cos∠GA₁B=$\frac{9+8-5}{2×3×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠GA₁B=45°；
（4）∵EF∥A₁B，BD∥D₁B₁，
∴∠A₁BD或其补角为EF与D₁B₁所成的角，
∵△A₁BD是等边三角形，∴EF与D₁B₁所成的角是60°．

点评 本题考查异面直线所成角，考查平行关系，确定异面直线所成角是关键．