如图，旅客从某旅游区的景点
处下山至
处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到
，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿
匀速步行，速度为
m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，
，
.
（1）求索道
的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
（1）
m （2）
（3）
（单位：m/min）
【解析】（1）在
中，∵
，
，∴
，
，
从而
.
由正弦定理
，得
，所以索道
的长为1040（m）.
（2）假设乙出发
分钟后，甲、乙两游客距离为
，此时，甲行走了
m，乙距离
处
m，
由余弦定理得
，
∵
，即
，故当
(min)时，甲、乙两游客距离最短.
（3）由正弦定理，
，得
（m），乙从
出发时，甲走了
（m），还需要走
（m）才能到达
，
设乙步行的速度为
m/min，由题意，
，解得
，
∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.
【考点定位】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.
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