Question

已知直线l₁：ax＋2y＋6＝0和直线l₂：x＋(a－1)y＋a²－1＝0.

(1)试判断l₁与l₂是否平行；

(2)l₁⊥l₂时，求a的值．

Answer 1

解　(1)法一　当a＝1时，

l₁：x＋2y＋6＝0，

l₂：x＝0，l₁不平行于l₂；

当a＝0时，l₁：y＝－3，

l₂：x－y－1＝0，l₁不平行于l₂；

当a≠1且a≠0时，两直线可化为

l₁：y＝－x－3，l₂：y＝x－(a＋1)，

l₁∥l₂⇔解得a＝－1，

综上可知，a＝－1时，l₁∥l₂，否则l₁与l₂不平行．

法二　由A₁B₂－A₂B₁＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A₁C₂－A₂C₁≠0，得a(a²－1)－1×6≠0，

∴l₁∥l₂⇔

⇔⇒a＝－1，

故当a＝－1时，l₁∥l₂，否则l₁与l₂不平行．

(2)法一　当a＝1时，l₁：x＋2y＋6＝0，l₂：x＝0，l₁与l₂不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l₁：y＝－3，l₂：x－y－1＝0，l₁不垂直于l₂；

当a≠1且a≠0时，

l₁：y＝－x－3，l₂：y＝x－(a＋1)，

由＝－1⇒a＝.

法二　由A₁A₂＋B₁B₂＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.