Question

定义非零向量

OM

=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=(a，b)称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）（a∈R），求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）（b≠0）满足：(a-

3

)2+(b-1)2=1上一点，向量

OM

的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M运动时，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，将h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）可化为h（x）=（2sina-

1

2

）sinx+（

3

2

-2cosa）cosx，于是结论可证；
（2）利用向量模的概念可求得）|

OM

|=

5-4sin(a+ π 3 )

，利用正弦函数的性质可求得|

OM

|的取值范围；
（3）由f（x）=

a2+b2

sin（x+φ）可求得x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，其中tanx₀=

a

b

，

b

a

为直线OM率，由几何意义知

b

a

∈（0，

3

]，再利用二倍角的正切可求得tan2x₀的范围．

解答：解：（1）∵h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）=（2sina-

1

2

）sinx+（

3

2

-2cosa）cosx
∴函数h（x）的相伴向量

OM

=（2sina-

1

2

，

3

2

-2cosa），
∴h（x）∈S…（4分）
（2）∵|

OM

|=

(2sina- 1 2 )2+( 3 2 -2cosa)2

=

5-2sina-2 3 cosa

=

5-4sin(a+ π 3 )

∴|

OM

|_max=

5+4

=3，|

OM

|_min=

5-4

=1
∴|

OM

|的取值范围为[1，3]…（10分）
（3）

OM

的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

当x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

．
∵

b

a

为直线OM率，由几何意义知

b

a

∈（0，

3

]
令m=

b

a

，tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

]
∵m∈（0，

3

]，故

1

m

≥

3

3

，-

1

m

≤-

3

3

，
∴m-

1

m

∈（-∞，

2 3

3

]，
∴tan2x0∈(-∞，0)∪[

3

，+∞)…（18分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．