Question

为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛．足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）．共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为

1

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

3

．
（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是等可能事件的概率，及离散型随机变量及其分布列和数学期望．
（1）甲队获得第一名且丙队获得第二名，需要满足甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，则P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)，计算后即可得到甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
（2）由题意可知ξ可能取值为0、3、6，分类讨论并计算：则甲两场皆输：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)；甲两场只胜一场：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

；甲两场皆胜：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

，我们易得到ξ的分布列，进而得到其数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)=

1

18

（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值为0、3、6，（4分）
则甲两场皆输：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)=

1

2

（5分）
甲两场只胜一场：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

=

5

12

（6分）
甲两场皆胜：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

=

1

12

．（8分）
∴ξ的分布列为：
（10分）
Eξ=0×

1

2

+3×

5

12

+6×

1

12

=

7

4

（12分）

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．