Question

已知正四棱锥的底面边长是a,侧棱长是a.

(1)求它的外接球的体积；

(2)求它的内切球的表面积.

Answer 1

解:如图，(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS,所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径.

∵AB=BC=a,∴AC=a.∵SA=SC=AC=a,

∴△SAC为正三角形.

由正弦定理得2R=a.

因此R=a,V_球=πR³=πa³.

(2)设内切球的半径为r,作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，则有SF=a,

S_△SBC=BC·SF=a·a=a²,

S_棱锥全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².

又SE=a,

∴V_棱锥=S_底·h=a²·a=a³.

∴r=a.

S_球=4πr²=πa².