Question

试求使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞5-2t对一切正整数n都成立的最小自然数t的值，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在用数学归纳法加以证明．

解答：解：设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

∵f(n+1)-f(n)=(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+4

)-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

)=

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+4

-

1

n+1

=

1

3n+2

+

1

3n+4

-

2

3n+3

=

6n+6

(3n+2)(3n+4)

-

2(3n+3)

(3n+3)2

=

6n+6

9n2+18n+8

-

2(3n+3)

9n2+18n+9

＞0
∴f（n）递增，∴f（n）最小为f(1)=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

∵f（n）＞5-2t对一切正整数n都成立，∴5-2t＜

13

12

，∴自然数t≥2
∴自然数t的最小值为2                 …（7分）
下面用数学归纳法证明

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞1
（1）当n=1时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=1时成立
（2）假设当n=k时成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

＞1
那么当n=k+1时，左边=

1

k+2

+

1

k+3

+

1

k+4

+…+

1

3k+4

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞1+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

=1+

2

(3k+2)(3k+4)(3k+3)

＞1
∴n=k+1时也成立
根据（1）（2）可知

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞1成立 …（14分）
注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t的最小值为2

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．