Question

在△ABC中，AB=2，AC=1，点D为BC中点，

AE

=a

AB

，

AF

=b

AC

，且a+b=ab，直线EF与直线AD相交于点P，则

AP 2+ BC 2

AP • BC

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：不妨设∠BAC为直角，以A为坐标原点，AB，AC为x轴，y轴建立直角坐标系，由a+b=ab，得到

1

a

+

1

b

=1，求得直线EF过定点（2，1），问题得以解决

解答： 解：不妨设∠BAC为直角，以A为坐标原点，AB，AC为x轴，y轴建立直角坐标系，
显然B（2，0），C（0，1），D（1，

1

2

），
∵a+b=ab，
∴

1

a

+

1

b

=1，可得直线EF过定点，过程如下，
∵

AP

=λ

AE

+（1-λ）

AF

=λa

AB

+（1-λ）b

AC

=μ

AD

=

μ

2

（

AB

+

AC

），
∴

λa= 1 2 μ (1-λ)b= 1 2 μ

，
∴λ+（1-λ）=

μ

2a

+

μ

2b

=

μ

2

（

1

a

+

1

b

）=1，
∴μ=2，
∴

AP

=2

AD

=（2，1），
∴直线EF过定点（2，1），
∵

BC

=（-2，1），
∴

AP 2+ BC 2

AP • BC

=

5+5

-4+1

=-

10

3

故答案为：-

10

3

．

点评：本题考查了向量的几何意义，关键是构建直角坐标系，属于中档题