Question

设a为实数，在复数集C中解方程：z²+2|z|=a．

Answer 1

分析：由于z²=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．

解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z²=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r²=2r-a．
由于z²=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．
解得r=1+

1-a

（r=1-

1-a

＜0，不合，舍去）．故z=±（1+

1-a

）i．
若a≥0，对r作如下讨论：
（1）若r≤

1

2

a，则z²=a-2|z|≥0，于是z为实数．
解方程r²=a-2r，得r=-1+

1+a

（r=-1-

1+a

＜0，不合，舍去）．
故z=±（-1+

1+a

）．
（2）若r＞

1

2

a，则z²=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数．
解方程r²=2r-a，得r=1+

1-a

或r=1-

1-a

（a≤1）．
故z=±（1±

1-a

）i（a≤1）．
综上所述，原方程的解的情况如下：
当a＜0时，解为：z=±（1+

1-a

）i；
当0≤a≤1时，解为：z=±（-1+

1+a

），z=±（1±

1-a

）i；
当a＞1时，解为：z=±（-1+

1+a

）．

点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．