Question

给出四个命题
（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；
（3）若sin²A+sin²B+sin²C＜2，则△ABC为钝角三角形；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形  
以上正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：通过sin2A=sin2B求出A与B的关系，判断（1）正误；
sinA=cosB，找出反例，即可判断△ABC是否是直角三角形；
由sin²A+sin²B+sin²C＜2，结合正弦定理可得a²+c²＜b²，所以△ABC为钝角三角形；
利用三角形中角的范围，结合正余弦定理及举特例，验证即可得到结论．

解答：解：（1）若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以（1）不正确；
（2）若sinA=cosB，例如sin100°=cos10°，则△ABC不是直角三角形，（2）不正确．
（3）根据正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以sin²A=

a2sin2B

b2

，同理，sin²C=

c2sin2B

b2

，
所以sin²A+sin²B+sin²C=

a2+b2+c2

b2

sin²B＜2，sinB≤1，
则

a2+b2+c2

b2

＜2，故a²+c²＜b²，所以它是钝角三角形，故（3）正确；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1
都是1显然成立，如果两个-1又不可能，所以命题是三角形为正三角形的充要条件，所以（4）正确．
故答案为：B

点评：本题是基础题，考查三角形的判断，三角方程的求法，反例法的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．