Question

下列几个命题，正确的有________．（填序号）
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为（-3，1）
③若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（-x-1）；
④函数y=f（2^x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[0，1]．

Answer 1

①
分析：根据韦达定理及一元二次方程根的个数与△的关系，可以判断①的真假；根据幂函数的图象和性质，可以判断②的真假；根据函数的对称性及轴对称函数解析式与对称轴的关系，可以判断③的真假；根据复数函数定义域的求法，根据已知求出函数y=f（x）的定义域，即可得到答案．
解答：若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则△＞0，且x₁•x₂=a＜0，解得a＜0，故①正确；
若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m²+2m-3≤0，解得m的取值范围为[-3，1]；
若f（x+1）为偶函数，则表示函数若f（x）的图象关于直线x=1对称，而f（x+1）=f（-x-1）表示f（x）的图象关于直线x=0（y轴）对称，故③错误；
若函数y=f（2^x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[2，4]，故④错误；
故答案为：①
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数奇偶性的性质，幂函数的性质，函数的零点与方程的根的关键，熟练掌握函数与方程之间的辩证关系，掌握初等基本函数的性质是解答此类问题的关键．