Question

△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量

m

=(2cosB，sin2B-1)，

n

=（2sin²（

π

4

+

B

2

），-1），

m

⊥

n

．
（I）求角B的大小；
（II）若b=

3

，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析：（I） 由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=0，解得 cosB=-

1

2

，再由B∈（0，π）求得B的值．
（II）由正弦定理可得 a=2sinA，C=2sinC=2sin(

π

3

-A)，求得△ABC的周长为 2sinA+2sin(

π

3

-A)+

3

，化简为 2sin(A+

π

3

)+

3

，由此求得△ABC的周长有最大值

解答：解：（I）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，∴4cosB•sin2(

π

4

+

B

2

)+1-sin2B=0，…（2分）
∴2cosB[1-cos(

π

2

+B)]+1-sin2B=0．
即2cosB+sin2B+1-sin2B=0，∴cosB=-

1

2

，又B∈（0，π），∴B=

2π

3

． …（6分）
（II）由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，又由（I）可知

b

sinB

=2，A+C=

π

3

．
∴a=2sinA，C=2sinC=2sin(

π

3

-A)．…（8分）
所以△ABC的周长为 2sinA+2sin(

π

3

-A)+

3

=2sinA+

3

cosA-sinA+

3

=sinA+

3

cosA+

3

=2sin(A+

π

3

)+

3

．…（10分）
又A∈(0，

π

3

)，∴A=

π

6

时，△ABC的周长有最大值为2+

3

．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，两个向量垂直的性质，两角和的正弦公式，属于中档题．