Question

定义y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f（x）=F（x，2）-3x，过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），设曲线C与l及y轴围成图形的面积为S，求S的值．
（Ⅱ）令函数g（x）=F（x，2）+alnx，讨论函数g（x）是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值．
（Ⅲ）证明：当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

（I）∵y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
∴f（x）=x²-x+1，x∈（0，+∞），∴A（0，1），f′（x）=2x-1
∵过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），
∴

t=n2-n+1 t n =2n-1

∴P（1，1），∴切线l的方程为y=x，
∴S=

∫

10

(x2-x+1)dx=

1

3

；
（II）∵g（x）=（1+x）²+alnx，x∈（0，+∞）
∴g′(x)=

2x2+2x+a

x

①△=4-8a≤0，即a≥

1

2

时，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而没有极值；
②当△=4-8a＞0即a＜

1

2

时，方程2x²+2x+a=0有二个不等实根x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

，g′(x)=

2x2+2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

若0≤a＜

1

2

，则x₁＜0，x₂≤0，g'（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而没有极值；
若a＜0，则x₁＜0，x₂＞0，函数在（0，x₂）上，g'（x）＜0，单调递减，在（x₂，+）上，g'（x）＞0，单调递增
∴x=x₂，g（x）有极小值，没有极大值；
（III）证明：令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，则h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

令p（x）=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，则p′(x)=

-x

(1+x)2

＜0
∴p（x）在（0，+∞）上单调递减
∴x＞0时，p（x）＜p（0）=0
∴x≥1时，h′（x）＜0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递减
∴1≤x＜y时，

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

∴yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴F（x，y）＞F（y，x）．