Question

【题目】如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．

（1）求证：AM∥平面PBC；

（2）求证：BD⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）取的中点，连，，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形中，取的中点，连，，证得四边形为菱形，进而得．同理四边形为菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根据线面垂直的判定可得平面．

证明：（1）如图，取的中点，连，，

∵为的中点，为的中点，

∴，．

又，，

∴，，

∴四边形为平行四边形，

∴．

又平面，平面，

∴平面

（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．

∵，，

∴，，

∴四边形为平行四边形．

又，

∴四边形为菱形，

∴．

同理，四边形为菱形，

∴．

∵，

∴．

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

又平面，

∴．

∵，，

∴平面．