Question

设有两个命题，命题p：对

a

，

b

均为单位向量，其夹角为θ，|

a

+

b

|＞1是θ∈[0，

2π

3

)的充要条件，命题q：若函数y=kx²-kx-8的值恒小于0，则-32＜k＜0，那么（　　）

A．“p且q”为真命题

B．“p或q”为真命题

C．“?p”为真命题

D．“?q”为假命题

Answer 1

分析：根据向量模的计算公式，求出|

a

+

b

|＞1时，夹角θ的范围，判断出p的真假性，若函数y=kx²-kx-8的值恒小于0，分k是否为0求出k的范围，判断出q的真假性．再判断各选项的正误，得出结果．

解答：解：若|

a

+

b

|＞1，则（|

a

+

b

|）²＞1，即

a

2+2

a

•

b

+

b

2＞1，整理2+2cosθ＞1，cosθ＞-

1

2

，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，

2π

3

)，
命题p是真命题．
若函数y=kx²-kx-8的值恒小于0，
①则当k=0时，-8＜0恒成立．
②k≠0时，△=（-k）2-4×k×（-8）=k²+32k＜0，且k＜0，解得-32＜k＜0．
由①②可知命题q是假命题．
所以“p且q”为应为假命题，A错．
“p或q”为真命题，B对．
“﹁p”应为假命题，C错．
“﹁q”应为真命题，D错
故选B．

点评：本题考查复合命题真假性的判断，要转化为简单命题的真假性．本题易错处在于研究函数y=kx²-kx-8的值恒小于0时，务必分k是否为0进行讨论．