Question

如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)中，

（I）若为的中点，求证：平面平面；

（II）若为线段上一点，且二面角的大小为，试确定的位置．

 

Answer 1

【答案】

（I）略；（II）．

【解析】

试题分析：（I）可以转为证线面垂直或利用空间向量证明面面垂直；（II）可利用的面积求也可利用空间向量求．

试题解析：方法一：（I）证明：∵，∴.        

又由直三棱柱的性质知，         

∴平面，∴，            ①       

由为的中点，可知，

∴，即，             ②      

又                                 ③

由①②③可知平面，      

又平面，故平面平面.         

（II）解：由（I）可知平面，在平面内过作，交或其延长线于，连接，∴为二面角的平面角，      

∴.由知，，设，则.

∵的面积为，∴.         

解得，即.    

方法二：（I）证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则即

           

由，得；         

同理可证，得.         

又平面.            

又平面，∴平面平面.       

（II）解：设，则点坐标为

设平面的一个法向量为．

则令.

得，

又平面的一个法向量为，        

则由，得，       

即，故.           ……

考点：1、空间面面垂直关系的证明；2、二面角有关计算；3、空间向量的应用．