Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，则x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量

OC

=(cosα，sinα)，且

OC

=x

OA

+y

OB

，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值．

解答：解：建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-

1

2

，

3

2

）．
设∠AOC=α，则

OC

=（cosα，sinα）．
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）
=（cosα，sinα）.

x- y 2 =cosα 3 2 y=sinα.

∴

x= sinα 3 + cosα y= 2sinα 3

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：2

点评：本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．