Question

如图，已知A₁，A₂分别为椭圆

y2

4

+

x2

3

=1的下顶点和上顶点，F为椭圆的下焦点，P为椭圆上异于A₁，A₂点的任意一点，直线A₁P，A₂P分别交直线l：y=m（m＜-2）于M，N点
（1）当点P位于y轴右侧，且PF∥l时，求直线A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN为直径的圆过F点？若存在加以证明，若不存在，请说明理由；
（3）由（2）问所得m值，求线段MN最小值．

Answer 1

分析：（1）PF∥l时，P点坐标为P（

3

2

，-1）．由A₁（0，-2）．能求出直线A₁M方程
（2）设A₁M：y=k₁x-2，由

y=k1x-2 y=m

，得M（

m+2

k1

，m），

FM

=（

m+2

k1

，m+1）．设A₂N：y=k₂x+2，由

y=k2x+2 y=m

，得N（

m-2

k2

，m），

FN

=（

m-2

k2

，m+1）．若以MN为直径的圆过点F，则

FM

•

FN

=0，由此能求出m=-4．
（3）由m=-4，知M（-

2

k1

，-4），N（-

6

k2

，-4），所以|MN|≥2

2 |k1| • 9|k1| 2

=6，由此能求出|MN|最小值．

解答：解：（1）∵椭圆

y2

4

+

x2

3

=1的下焦点F（0，-1），
点P在椭圆上，且点P位于y轴右侧，
∴PF∥l时，P点坐标为P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入椭圆

y2

4

+

x2

3

=1，
得

1

4

+

x2

3

 =1，x＞0，
解得x=

3

2

，∴P（

3

2

，-1）．
∵A₁为椭圆

y2

4

+

x2

3

=1的下顶点，
∴A₁（0，-2）．
∴直线A₁M方程：

y+2

x

=

-1+2

3 2

，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分别为椭圆

y2

4

+

x2

3

=1的下顶点和上顶点，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
设A₁M：y=k₁x-2，由

y=k1x-2 y=m

，得M（

m+2

k1

，m），
∴

FM

=（

m+2

k1

，m+1）．
设A₂N：y=k₂x+2，由

y=k2x+2 y=m

，得N（

m-2

k2

，m），
∴

FN

=（

m-2

k2

，m+1）．
若以MN为直径的圆过点F，则

FM

•

FN

=0，
得

m2-4

K1K2

+(1+m)2=0．（5分）
∵KA1P•KA2P=

y+2

x-0

•

y-2

x-0

=

y2-4

x2

=-

4

3

．（7分）
∴

m2-4

- 4 3

+(m+1)2=0，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-

2

k1

，-4），N（-

6

k2

，-4），
∴|MN|=|

-2

K1

-

-6

K2

|=|

2

K1

-

6

K2

|=|

2

K1

+

9K1

2

|=

2

|K1|

+

9|K1|

2

∴|MN|≥2

2 |k1| • 9|k1| 2

=6，
当且仅当K2=

4

9

，K=±

2

3

时，
|MN|最小值为6．（12分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．