Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．

（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，

∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．

∵D为AC的中点，

∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．

OD平BC1D，AB1平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．

（2）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，

又∵AA1⊥底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，

故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，

∴ ．

∴ ．

【解析】（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD的体积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．