Question

已知圆C的半径长为2，圆心在x轴的正半轴上，且直线3x－4y＋4＝0与圆C相切．

(1)求圆C的方程；

(2)过点Q(0，－3)的直线l与圆C交于两个不同的点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，当x₁x₂＋y₁y₂＝3时，求△AOB的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x－2)2＋y2＝4． 　　(2)显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－3． 　　由得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋9＝0．因为直线l与圆C相交于两不同的点，所以Δ＝[－(4＋6k)]2－4(1＋k2)×9＞0，解得k＞．因为交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝．①　所以y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9．因为x1x2＋y1y2＝3，所以(1＋k2)x1x2－3k(x1＋x2)＋6＝0．将①代入，并整理得k2＋4k－5＝0，解得k＝1，或k＝－5(舍去)，所以直线l的方程为y＝x－3． 　　所以圆心(2，0)到l的距离d＝＝．所以在△ABC中，|AB|＝2×＝．又因为原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB上的高h＝，所以S△AOB＝·|AB|·h＝××＝．