Question

在边长为1的正方形ABCD的CD边取一点E，使BC+CE=AE，F是DC的中点，试用平面向量的知识，证明：∠BAE=2∠FAD．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：证明题,平面向量及应用

分析：建立坐标系，求出E的坐标，利用向量夹角公式，二倍角公式，即可证明结论．

解答： 解：如图所示，建立坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），F（0.5，1），
设E（a，1），则AE=

1+a2

，CE=1-a，
∵BC+CE=AE，
∴

1+a2

=1+（1-a）=2-a，
∴a=0.75，
∴

AB

=（1，0），

AE

=（0.75，1），

AF

=（0.5，1），

AD

=（0，1），
∴cos∠BAE=

0.75

1+0 • 0.752+1

=0.6，
cos∠FAD=

1

0．52+1 • 1+0

=

2 5

5

，
∴cos2∠FAD=2cos²∠FAD-1=cos∠BAE，
∴∠BAE=2∠FAD．

点评：本题考查平面向量的运用，考察向量的夹角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．