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(2013•广元一模)已知椭圆C过点A(1,
3
2
)
,两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0).
①求椭圆C的方程;
②过点A的直线l交椭圆C于另一点B,若点M的横坐标为-
1
2
_,且满足
OA
+
OB
=
2OM
,求直线l的方程.
分析:①设椭圆C的方程,利用椭圆C过点A(1,
3
2
)
,两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),建立方程组,求出几何量,即可求得椭圆的方程;
②设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及点M的横坐标为-
1
2
,且满足
OA
+
OB
=
2OM
,求出直线的斜率,即可求直线l的方程.
解答:解:①设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
∵椭圆C过点A(1,
3
2
)
,两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),
a2-b2=1
1
a2
+
9
4b2
=1

∴a2=4,b2=3
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

②设直线l的斜率为k,则方程为y-
3
2
=k(x-1),即y=kx-k+
3
2

代入椭圆方程,可得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+4k2-12k-3=0,
设B(x1,y1),则
A(1,
3
2
)
,∴x1+1=-
12k-8k2
3+4k2

∵点M的横坐标为-
1
2
,且满足
OA
+
OB
=
2OM

x1+1=-
12k-8k2
3+4k2
=-1
∴k=
1
2

∴直线l的方程为x-2y+2=0.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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p1:?x∈(0,∞),(
1
2
)x<(
1
3
)x

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1
2
x>log
1
3
x

p3:?x∈(0,∞),(
1
2
)x>log
1
2
x

p4:?x∈(0,
1
3
),(
1
2
)x<log
1
3
x,
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2
x
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①③
①③
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7
7
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