Question

设函数f（x）=

ax

e2x

+b，其中a＞0，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线为直线l，证明：f（x）=

ax

e2x

+b的图象恒在切线l的下方（除切点外）．
（2）当a=1，设函数F（x）=f（x）-|lnx|，若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，求实数b的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

a(1-2x)

e2x

，从而求出切线方程y=ax+b；再作差(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)，从而证明恒小于0即可；
（2）由题意，F（x）=f（x）-|lnx|=

x

e2x

+b-|lnx|．从而讨论去绝对值号，再求导确定函数的单调性，从而求最值，从而讨论最值的取值即可．

解答： 解：（1）证明：由已知f′（x）=

a(1-2x)

e2x

，所以f′（0）=a；又∵f（0）=b；
所以切线l的方程为：y=ax+b；
又(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)，
因为a＞0，当x＞0时，

1

e2x

＜1，
所以(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)＜0；
当x＜0时，

1

e2x

＞1，
所以(

1

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)＜0；
故函数f(x)=

ax

e2x

+b的图象恒在切线l的下方（除切点外）；
（2）由题意，F（x）=f（x）-|lnx|=

x

e2x

+b-|lnx|．
①当0＜x＜1时，F（x）=

x

e2x

+b+lnx，
所以F′（x）=

1-2x

e2x

+

1

x

=

x-2x2+e2x

xe2x

；
在0＜x＜1时，函数y=e^2x的值域为（1，e²），函数y=2x²-x的值域为（-

1

8

，1），
所以在0＜x＜1时，恒有2x²-x＜e^2x，即e^2x+x-2x＞0，
所以y=F（x）对任意x∈（0，1）大于零恒成立，
所以F（x）在（0，1）上单调递增；
②当x≥1时，F（x）=

x

e2x

+b-lnx，
F′（x）=

1-2x

e2x

-

1

x

=

x-2x2-e2x

xe2x

，
显然在x≥1时有函数y=x-2x²=x（1-2x）＜0恒成立，
所以F′（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，
所以F（x）在（1，+∞）上单调递减；
由①②得，函数F（x）=

x

e2x

+b-|lnx|在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以F（x）的最大值为F（1）=

1

e2

+b；
当

1

e2

+b=0，即b=-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|有且只有一个零点；
当

1

e2

+b＞0，即b＞-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|有两个不等的零点；
当

1

e2

+b＜0，即b＜-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|没有零点．
故若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，
则b≥-

1

e2

，
所以b的最小值为-

1

e2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．