Question

设函数.
(I )讨论f(x)的单调性；
(II) ( i)若证明：当x>6时，
(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）f¢(x)＝－e^－x[x²－(a＋2)x＋2a]＝－e^－x(x－2)(x－a)．      …1分
（1）若a＝2，则f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．          …2分
（2）若0≤a＜2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下表：

x	(－∞，a)	a	(a，2)	2	(2，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	极小值ae－a	↗	极大值(4－a)e－2	↘

此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a，2)单调递增．     …3分
（3）若a＞2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下表：

x	(－∞，2)	2	(2，a)	a	(a，＋∞)
f¢(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	极小值(4－a)e－2	↗	极大值ae－a	↘

此时f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．     …4分
（Ⅱ）（ⅰ）若a＝0，则f(x)＝x²e^－x，f(x)＜即x³＜e^x．
当x＞6时，所证不等式等价于x＞3lnx，
设g(x)＝x－3lnx，当x＞6时，g¢(x)＝1－＞0，g(x)单调递增，
有g(x)＞g(6)＝3(2－ln6)＞0，即x＞3lnx．
故当x＞6时，f(x)＜．                                        …6分
（ⅱ）根据（Ⅰ），
（1）若a＝2，方程f(x)＝a不可能有3个不同的实数解．            …7分

略