Question

已知m＞1，且存在x∈[-2，0]，使不等式x²+2mx+m²-m≤0成立，则m的最大值为

4

．

Answer 1

分析：由已知，f（x）=x²+2mx+m²-m在x∈[-2，0]上的值域内存在非正数，f（x）的最小值应为非正数．求出f（x）的最小值，令其小于或等于0，求出m的取值范围再确定m的最大值．

解答：解：构造函数f（x）=x²+2mx+m²-m．记f（x）在x∈[-2，0]上的值域为C，由已知，值域C内存在非正数．∴f（x）的最小值应为非正数．
f（x） 的对称轴x=-m，
①当m≥2时，-m≤-2，f（x）在[-2，0]上是增函数，f（x）的最小值 为f（-2），
由f（-2）≤0，得4+2m×（-2）+m²-m≤0，m²-5m+4≤0，1≤m≤4，
∴2≤m≤4．
②当1＜m＜2时，-2＜-m＜-1，f（x）在[-2，0]上先减后增，最小值 为f（-m），
由f（-m）≤0，得-m≤0，m≥0，
∴1＜m＜2
由①②可得m的取值范围是1＜m≤4．，m的最大值是4
故答案为：4．

点评：本题是函数与不等式的结合，考查不等式解的概念，二次函数最值求解，考查综合运用知识分析解决问题、转化计算、分类讨论的思想方法和能力．分析出f（x）的最小值 小于或等于0 是本题的关键．