Question

如图所示，为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r₀．问冷轧机至少需要安装多少对轧锟？
一对轧锟的减薄率=

输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度

输入该对的带钢厚度

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟，所有轧辊周长均为1600mm．若第k对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，庇点的间距为L_k．为了便于检修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.两端取对数，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.由于lg（1-r₀）＜0，进而求得n的范围．
（2）根据题意可知1600=L₃•（1-0.2），进而求得L₃，同理可求得L₂和L₁

解答：（1）解：厚度为α的带钢经过减薄率均为r₀的n对轧绲后厚度为a（1-r₀）ⁿ．为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.
由于(1-r0)n＞0，

β

a

＞0，对比上式两端取对数，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.
由于lg（1-r₀）＜0，所以n≥

lgβ-lga

lg(1-r0)

.
因此，至少需要安装不小于

lgβ-lga

lg(1-r0)

的整数对轧辊．
（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600=L₃•（1-0.2），
所以L3=

1600

0.8

=2000(mm).
同理L2=

L3

0.8

=2500(mm)，L1=

L2

0.8

=3125(mm).
填表如下：

点评：本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．