Question

9．已知F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，$\overrightarrow{EF}$₁•$\overrightarrow{EF}$₂的最大值、最小值分别为（　　）

• A． 9，7
• B． 8，7
• C． 9，8
• D． 17，8

Answer 1

分析 设出点E的坐标，进而可表示出$\overrightarrow{EF}$₁，$\overrightarrow{EF}$₂，运用向量的数量积的坐标表示和x的范围确定$\overrightarrow{EF}$₁•$\overrightarrow{EF}$₂的最值．

解答 解：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1可得a=3，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
知F₁（-1，0），F₂（1，0），
设E（x，y），即有$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，即y²=8（1-$\frac{{x}^{2}}{9}$），
则 $\overrightarrow{EF}$₁=（-1-x，-y），$\overrightarrow{EF}$₂=（1-x，-y），
$\overrightarrow{EF}$₁•$\overrightarrow{EF}$₂=（-1-x）（1-x）+y²
=x²+y²-1=7+$\frac{{x}^{2}}{9}$，
∵x∈[-3，3]，∴0≤x²≤9，
故$\overrightarrow{EF}$₁•$\overrightarrow{EF}$₂的最大值∈[7，8]
故最大值8，最小值7．
故选：B．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是运用平面向量的数量积的坐标表示．考查运算能力，属于中档题．