Question

12．设函数f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的周期是π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是（$\frac{5π}{12}$，0）
• D． 将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=3sinωx的图象

Answer 1

分析 根据周期函数的定义可以求得ω=2，由此可以求得该函数解析式，然后根据解析式对下列选项进行一一计算即可．

解答 解：∵函数f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的周期是π，
∴2π÷ω=π，则ω=2．
∴该函数是：f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
A、当x=0时，f（x）=3sin$\frac{π}{6}$=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，即该函数经过点（0，$\frac{3}{2}$），故本选项错误；
B、由正弦函数的单调递增区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+π]，（k∈Z），
得到2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3}{2}$π，（k∈Z），
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
∴f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函数，故本选项错误；
C、f（x）的对称中心是（kπ，0），则2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$．
当k=1时，x=$\frac{5π}{12}$，即f（x）的一个对称中心是（$\frac{5π}{12}$，0），故本选项正确；
D、将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到函数y=3sinωx的图象，故本选项错误；
故选：C．

点评 此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握三角函数的周期公式及正弦函数的单调性是解本题的关键．