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(05年湖南卷理)(14分)

    已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.

   (Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;

   (Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

 

解析:(I)

因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有解.

又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.

①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;

②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;

  则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0.

  综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).

   (II)证法一  设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.

         则点M、N的横坐标为

         C1在点M处的切线斜率为

         C2在点N处的切线斜率为

         假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.

         即,则

                 =

       所以  设

       令

       因为时,,所以)上单调递增. 故

       则. 这与①矛盾,假设不成立.

       故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

证法二:同证法一得

       因为,所以

       令,得  ②

       令

       因为,所以时,

       故在[1,+上单调递增.从而,即

       于是在[1,+上单调递增.

       故这与②矛盾,假设不成立.

       故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

 

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