(05年湖南卷理)(14分)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解析:(I),
则
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0.
综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(II)证法一 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即,则
=
所以 设则①
令则
因为时,,所以在)上单调递增. 故
则. 这与①矛盾,假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二:同证法一得
因为,所以
令,得 ②
令
因为,所以时,
故在[1,+上单调递增.从而,即
于是在[1,+上单调递增.
故即这与②矛盾,假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
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(05年湖南卷理)(14分)
自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不
要求证明)
(Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的
最大允许值是多少?证明你的结论.
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(05年湖南卷理)(14分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e. 直线
l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(Ⅰ)证明:λ=1-e2;
(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
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(05年湖南卷理)(14分)
某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望;
(Ⅱ)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞上单调递增”为事件A,求事件A的概率.
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