Question

下列命题中
①对于每一个实数x，f（x）是y=2-x²和y=x这两个函数中的较小者，则f（x）的最大值是1．
②已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，则x₁+x₂=3．
③函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1，2a]，则f（x）的图象是以（0，1）为顶点，开口向下的抛物线．
④若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，则P∩Q={x|x=15m-8，m∈N⁺}
⑤若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正确的命题的序号是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：①确定出x为何值时取最大值，求出最大值．②得出第一个方程：lgx=3-x． 第二个方程，lg（3-x）=x．y=3-x，得出为同一方程，推出x₁+x₂=3．
③通过函数为偶函数求出a，b的值，确定出解析式和开口方向．④要满足3m+1=5n+2，m=

5n+1

3

，要使m，n都为整数，当且仅当n=3k-2∈N时，才满足m=5k-3∈N，代入求出x的值．⑤若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），得出结论成立．

解答：解：①当y=2-x²和y=x相交时，直线取最大值，此时x=1，最大值为1，正确；
②第一个方程：lgx=3-x． 第二个方程，lg（3-x）=x．
注意第二个方程
如果做变量代换y=3-x，则lgy=3-x，
其实是与第一个方程一样的．  那么，如果x₁，x₂是两个方程的解，则必有x₁=3-x₂，即x₁+x₂=3，正确．
③若函数为偶函数，则应满足

b=0 a-1+2a=0

，解得 a=

1

3

，b=0，f（x）=x²+1，开口向下，③错误．
④若x属于P∩Q，则必有x=3m+1，m∈N，x=5n+2，n∈N
即 要满足3m+1=5n+2  且m，n∈N
m=

5n+1

3

当且仅当n=3k-2∈N时，才满足m=5k-3∈N   （k∈N*）
此时将m=5k-3代入x=3m+1，得x=15k-8
即可知3m+1=5n+2=15k-8=x
x为P∩Q元素，正确．
⑤若函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．正确．
故答案为：①②④⑤．

点评：本题考查了函数的最值及几何意义，函数的单调性，偶函数的性质，交集，判断命题真假等知识点，属于综合性德题目，对学生的能力要求比较高．