Question

应用题
如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA，由B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，求
（1）y与x之间的函数关系式；
（2）画出y=f（x）的图象，并写出其单调区间及值域．

Answer 1

分析：（1）先求出定义域，然后根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，最后用分段函数进行表示即可；
（2）根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象，结合函数图象即可求出函数的单调区间及值域．

解答：解：（1）由于x=0与x=12时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，12）．
当0＜x≤4时，S=y=

1

2

•4•x=2x；
当4＜x≤8时，S=y=8；
当8＜x＜12时，S=y=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴这个函数的解析式为
y=

2x   x∈(0，4] 8       x∈(4，8] 24-2x  x∈(8，12)

；
（2）y=f（x）的图象为右上图，
由图知函数在（0，4]上单调递增，在（4，8）无单调性，在（8，12）上单调递减，
函数y=f（x）的值域为（0，8]．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及分段函数的图象等有关基础知识，分类讨论的数学思想，属于基础题．