Question

下列结论中错误的一项是（　　）

• A．若f（x）=xⁿ，n为奇数，则f（x）是奇函数
• B．若f（x）=xⁿ，n为偶数，则f（x）是偶函数
• C．若f（x）与g（x）都是R上奇函数，则f（x）?g（x）是R上奇函数
• D．若f(x)=x3+

  1

  x

  ，则f（x）是奇函数．

Answer 1

分析：对于选项A、B、D，求出函数定义域后，直接利用函数的奇偶性定义判断；
选项C中两个函数的定义域相同，都是R，直接利用奇偶性定义判断；

解答：解：函数f（x）=xⁿ（n为奇数）的定义域为实数集，而f（-x）=（-x）ⁿ=-xⁿ，所以，f（x）是奇函数．选项A正确；
函数f（x）=xⁿ（n为偶数）的定义域为实数集，而（-x）ⁿ=xⁿ，所以，f（x）是偶函数．选项B正确；
若f（x）与g（x）都是R上奇函数，则f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以，f（-x）•g（-x）=（-f（x））•（-g（x））=f（x）•g（x），所以，f（x）•g（x）是R上偶函数．选项C错误；
函数f(x)=x3+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，而f（-x）=(-x)3+

1

-x

=-x3-

1

x

=-(x3+

1

x

)，所以，f（x）是奇函数，选项D正确．
所以，错误的选项是C．
故选C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了判断函数奇偶性的方法，判断给出具体解析式的函数的奇偶性，先看定义域，若定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，定义域关于原点对称，看f（-x）与f（x）和-f（x）的关系，同时注意，在相同定义域内，两个奇函数或两个偶函数的乘积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数，此题是基础题．