Question

【题目】已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）求EF与平面ABC所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三视图可知AD⊥平面BCD，BD⊥CD，

AD=1，CD=BD=2，

∴四面体ABCD的体积V= = =

（2）解：∵E是AB的中点，F是CD的中点，

∴E到平面BCD的距离为 AD= ，S△BCF= S△BCD= =1，

∴VE﹣BCF= = = ．

由勾股定理得AB=AC= ，BC=2 ，∴△ABC的BC边上的高为 = ，

∴S△ABC= = ，∴S△BCE= S△ABC= ，

设F到平面ABC的距离为h，则VF﹣BCE= = ，

又VE﹣BCF=VF﹣BCE，∴ = ，解得h= ．

连结DE，则DE= AB= ，∴EF= = ，

设EF与平面ABC所成的角为θ，则sinθ= = ．

∴EF与平面ABC所成的角为arcsin

【解析】（1）根据三视图得出棱锥的结构特征和棱长，代入体积公式计算；（2）通过VE﹣BCF=VF﹣BCE得出F到平面ABC的距离，利用线面角的定义即可得出线面角的正弦值，从而得出所求线面角的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．