Question

（坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，已知点A（2，0），点P在曲线C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

上运动，则P、A两点间的距离的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由在极坐标系中，点A（2，0），知在直角坐标系中，点A（2，0）．由曲线C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

，知曲线C的普通方程是y²=4（x+1）．所以P（x₀，4（x₀+1）），故P、A两点间的距离d=

(2-x0)2+[4(x0+1) ]2

=

x02+8

，由此能求出P、A两点间的距离的最小值．

解答：解：∵在极坐标系中，点A（2，0），
2cos0=2，2sin0=0，
∴在直角坐标系中，点A（2，0）．
由曲线C：ρ=

2+2cosθ

sin2θ

，
得ρsin²θ=2+2cosθ，
∴（ρsinθ）²=2ρ+2ρcosθ，
∴y²=2ρ+2x，
∴y2-2x=2

x2+y2

，
两边平方，得y⁴-4y²x+4x²=4x²+4y²，
整理，得y²=4（x+1）．
∴P（x₀，2

(x0+1)

），
∴P、A两点间的距离d=

(2-x0)2+4( x0+1)

=

x02+8

，
∴当x₀=0时，则P、A两点间的距离的最小值d_min=

8

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查简单曲线的参数方程的应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意两点间距离公式的灵活运用．