Question

已知，
（1）若函数在区间[1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．
（2）若m≤2，求函数g（x）=f（x）-lnx在区间上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，说明其导数f′（x）在区间[1，+∞）上是大于0的，再利用常数分离法求出实数m的取值范围；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），对g（x）进行求导，求出极值点，此时需要对m进行讨论，利用导数研究g（x）的最值问题；
解答：解：（1）由条件得到f（x）在区间[1，+∞）上是减函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，
f′（x）=1-≥0?m≤x²，在区间[1，+∞）上恒成立，得到m≤1，
f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，得到m＞-3，
所以实数m的取值范围是：（-3，1]…6分
（2）g（x）=x+-lnx，则g′（x）=1--=，
（一）若m≤-时，g′（x）≥0，g（x）是[，2]上的增函数，
所以…（9分）
（二）若时，由g′（x）=0
得到，
且时，g′（x）≤0，x∈[x₂，2]时，g′（x）≥0，
所以=；…（12分）
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题还考查了分类讨论的思想，此题是一道中档题；