Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为

1＜a＜

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：设S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，（n≥2），由已知，只需

1

12

loga(a-1)+

2

3

小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn随n的增大而增大，当n=2时Sn取得最小值

7

12

，再解对数不等式即可．

解答：设S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，（n≥2）则S _n+1=

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

  
  Sn+1-Sn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，∴Sn随n的增大而增大．当n=2时，Sn取得最小值，S2=

1

3

+

1

4

=

7

12

∴

7

12

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

恒成立． 移向化简整理得log_a（a-1）＜-1．①
根据对数的真数为正得：a-1＞0，a＞1，①再根据对数函数单调性得a-1＜

1

a

，a²-a-1＜0，②
①②联立解得1＜a＜

1+ 5

2

故答案为：1＜a＜

1+ 5

2

点评：本题是不等式、函数、数列的结合，考查数列的函数性质，对数不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立问题、转化、计算能力．