Question

18．已知{a_n}为公差不为零的等差数列，首项a₁=a，{a_n}的部分项${a_{k_1}}$、${a_{k_2}}$、…、${a_{k_n}}$恰为等比数列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a表示）；
（2）设数列{k_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，据题有：${a_5}^2={a_1}•{a_{17}}$，即（a+4d）²=a（a+16d），
∴16d²=8ad，∵d≠0，∴$d=\frac{a}{2}$，
从而${a_n}={a_1}+（n-1）d=\frac{a（n+1）}{2}$．
（2）设等比数列的公比为q，则$q=\frac{a_5}{a_1}=3$，故${a_{k_n}}=a•{3^{n-1}}$，
另一方面，${a_{k_n}}=\frac{a}{2}（{k_n}+1）$，
所以$\frac{a}{2}（{k_n}+1）=a•{3^{n-1}}$，∵a≠0，∴${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，∴${S_n}={3^n}-n-1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．