Question

若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x），则f（x）的解析式可以是

 

．（只写一个即可）

Answer 1

分析：题目中条件：“若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，”说明有f（-x）=f（x）；“②对任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x）”说明有：f（

π

2

+x）=f（x），是周期函数．

解答：解：∵若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，
∴说明有f（-x）=f（x）；
∵②对任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x）
∴说明有：f（

π

2

+x）=f（x），是周期函数．
我们从三角函数中寻找即得：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．
故填：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．

点评：本题主考查抽象函数的周期性、对称性以及偶函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．