Question

已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知{

3l

104

}={

3m

104

}={

3n

104

}，其中{x}=x-[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．则这种三角形周长的最小值为______．

Answer 1

∵{

3l

104

}={

3m

104

}={

3n

104

}，∴3^l、3^m、3ⁿ的末四位数字相同，，
即求满足3^l°3^m≡3ⁿ（ mod 10⁴）的l、m、n．∴3ⁿ（3^l-n-1）≡0 （mod 10⁴）．（l-n＞0）
但 （3ⁿ，10⁴）=1，故必有3^l-n≡1（mod 10⁴）；同理3^m-n≡1（mod 10⁴）．
下面先求满足3^x≡1（mod 10⁴）的最小正整数x．
∵j（10⁴）=10⁴??=4000．故x|4000．用4000的约数试验：
∵x=1，2，时3^x1（mod 10），而3⁴≡1（mod 10），∴x必须是4的倍数；
∵x=4，8，12，16时3^x1（mod 10²），而3²⁰≡1（mod 10²），∴x必须是20的倍数；
∵x=20，40，60，80时3^x1（mod 10³），而3¹⁰⁰≡1（mod 10³），∴x必须是100的倍数；
∵x=100，200，300，400时3^x1（mod 10⁴），而3⁵⁰⁰≡1（mod 10⁴）．
即，使3^x≡1（mod 10⁴）成立的最小正整数x=500，从而l-n、m-n都是500的倍数，
设l-n=500k，m-n=500h，（k，h∈N*，k＞h）．
由m+n＞l，即n+500h+n＞n+500k，?n＞500（k-h）≥500，故n≥501．
取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值．
∴所求周长的最小值为3003．
故答案为3003．