Question

做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为

3

．

Answer 1

分析：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr²h=27π，即h=

27

r2

，要使用料最省即求全面积的最小值，而S_全面积=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S_全面积=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

，利用基本不等式可求用料最小时的r

解答：解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr²h=27π
h=

27

r2

S_全面积=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

（法一）令S=f（r），（r＞0）
f′(r)=2πr-

54π

r2

=

2π(r3-27)

r3

令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S_全面积=πr²+2πrh=πr2+2πr•

27

r2

=πr2+

54π

r

=πr2+

27π

r

+

27π

r

≥3

3	πr2• 27π r • 27π r

=27π
当且仅当πr2=

27π

r

即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3

点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．